UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Rubens Sucupira - Lista 3, Questão 13
Determine a e b reais para que a função f dada por seja derivável em 1.
Passo 1
Eaew, belezinha?
A questão quer que a gente determine valores para as constantes a e b de modo que a função f(x), que é definida por intervalos, seja diferenciável no ponto x = 1. Então, primeiro, a gente precisa saber quando uma função é diferenciável em um ponto. Para isso, iremos analisar duas condições:
i) A primeira condição a ser satisfeita é que a função seja contínua no ponto x, em questão. Para a função ser contínua, precisamos que o seu limite quando x tende à 1 exista, tanto pela esquerda quanto pela direita. (É importante notar que, uma função ser contínua em um ponto é uma condição necessária, mas não suficiente, pois isso não implica necessariamente que ela é diferenciável nesse ponto)
ii) A função deve admitir derivada no ponto x = 1. Para isso, sua derivada deve existir nesse ponto.
Então, tudo que temos a fazer é calcular o limite e a derivada da função quando x tende a 1 para ajustar as constantes a e b. Então vamos lá!
Passo 2
Se nos aproximarmos de x = 1 pela esquerda, temos que a função f(x) é dada pela função . Então, por ser um polinômio e, consequentemente, contínua, o seu limite a substituição simples da variável
Então, para f(x) ser contínua, precisamos que o limite pela direita também seja igual à 1. Pela direita, a função é definida pela reta ax+b, então o seu limite é simplesmente:
Então, exigindo continuidade da função f(x) em x = 1, encontramos o vínculo para as constantes. Então, precisamos determinar apenas uma delas para que a outra seja obtida. Para isso, vamos derivar a função f(x) e verificar a condição para que a função tenha derivada em x = 1. Então bora lá derivar a função!
Passo 3
Pelo lado esquerdo de x = 1, temos que a derivada da função, dada por x², é simplesmente a derivada de um polinômio. Como a derivada de uma função do tipo é dada por
,
Para n = 2, temos então que
Quando x tende à 1 pela esquerda, a derivada da função tende à . Portanto, para que a derivada exista, temos que seu valor pela direita também deve tender à 2. Como pela direita a função é dada por uma reta, cuja derivada é apenas
Encontramos que o valor de a deve ser igual à 2. Portanto, com o valor da constante a determinado, podemos obter o valor de b através do vínculo . Assim, temos
Então, a função f(x) definida para , deve ser dada pela reta
Que, como esperado, é justamente a reta tangente à função x² no ponto x = 1. Qualquer outra reta apresentaria um “bico” no ponto x =1 e a função, apesar de ser contínua, não seria mais diferenciável nesse ponto.