Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que sua distância s ( t ) do solo durante os 10 primeiros segundos de voo é dada por s t = 6 - 2 t + t 2 , na qual s ( t ) é contada em metros e t em segundos. Determine a velocidade do balão no instante em que o balão está a 50 metros do solo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a velocidade do balão no instante em que ele está a 50   m do solo. Mas nós não sabemos que instante t é esse. Nós só sabemos que sua distância do solo, nos primeiros 10   s , é dada por:

s t = 6 - 2 t + t 2

Então, substituindo s = 50   m , vamos encontrar um valor de t que satisfaça a equação. Sendo assim, sabendo que a velocidade é a variação da posição em um intervalo de tempo, vamos derivar s ( t ) e substituir o valor de t obtido do cálculo anterior.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo s = 50   m na equação da posição, s t = 6 - 2 t + t 2 :

50 = 6 - 2 t + t 2

t 2 - 2 t - 44 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, usando Bháskara, encontramos:

t = 1 + 3 5 ≈ 7,71

t = 1 - 3 5 ≈ - 5,71

Mas como não existe tempo negativo, vamos ficar apenas com o primeiro resultado, t = 1 + 3 5   s .

Passo 3

Agora derivando a equação da posição para obter a velocidade v ( t ) , temos:

s ' t = v t = 0 - 2 t 1 - 1 + 2 t 2 - 1

v t = - 2 + 2 t

Substituindo t = 1 + 3 5   s , que encontramos no passo anterior, temos:

v = - 2 + 2 1 + 3 5

v = - 2 + 2 + 6 5

Simplificando:

v = 6 5   m / s

Essa é a velocidade do balão a 50   m do solo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

v = 6 5   m / s

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