Seja tal que Mostre que é diferenciável em .
Passo 1
Para provar que é derivável nesse ponto, temos que garantir que seja contínua e que o limite de sua derivada exista. Ou seja, em termos matemáticos, precisamos que:
Sabendo que , ou seja
Vamos calcular agora!
Passo 2
O limite da continuidade:
Como calculamos usando aquela relação:
Um velho conhecido: Teorema do Confronto! Repara nisso
Se os limites em volta convergirem para o mesmo valor, esse é o limite de
Então
OK, ela é contínua. Para garantir se será diferenciável temos que olhar para os limites das derivadas laterais.
Passo 3
O limite da derivada:
Mesma coisa! Vamos usar o Teorema do Confronto!
Calculamos os dois limites dos lados:
Boa! Os limites bateram e vemos que, com isso, o limite da derivada de também existe.
Se é contínua e derivável em , provamos sua diferenciabilidade nesse ponto!