UFF, Niterói - Praia Vermelha, Cálculo IA, P2 - 2022.2, Questão 4c
Se é uma função diferenciável tal que e em .
c) Explique porque .
Passo 1
Faaaaaaalaa galerinha, tudo na paz por aí?
Nessa questão recebemos algumas poucas informações sobre a função . É falado que:
Isso significa que tem como domínio o conjunto .
em
Essa informação é crucial, pois se , também é verdade que . Isso significa que no intervalo a função é sempre decrescente.
Show! Após essas informações o enunciado nos pede para explicar porque:
Tem um teorema bem importante que nos ajuda bastante a responder essa questão. É o Teorema do Valor médio. Ele diz que:
Se uma função é contínua no intervalo e derivável no intervalo , então existe um número tal que:
Assim, podemos usar o fato da informação , ou seja, que:
Junto com o TVM em que um dos termos será ( ou igual a ).
Beleza? Vamos lá!
Passo 2
Bom, como comentamos antes, sabemos que para qualquer . Assim, independente do e que escolhermos pelo TVM, se é sempre verdade que:
Como queremos provar que , podemos escolher . Já para , analisando os dados da informação :
podemos escolher , assim o denominador já fica igual a . Se usando esse valor de ainda não conseguirmos provar a relação, é só escolhermos outro, mas com certeza vai sair por esse caminho 😊
Voltando para o TVM com e , temos:
Daí:
Manipulando um pouco, chegamos que:
Aeee! Como queríamos provar hahaha!
Valeu pela atenção gente, até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto acima.