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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Passo 1

Integração por partes né? Do que a gente precisa? Determinar quem vai ser u   e   d v , certo? Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

No nosso caso temos uma inversa trigonométrica, então

u = arcsen ⁡ x

d v = d x

Passo 2

Escolhidos u   e   v , precisamos encontrar d u   e   v

u = arcsen ⁡ x

Derivando

d u = 1 1 - x 2 d x

Essa é uma daquelas derivadas mais chatinhas de fazer, se ficar com dúvida volta lá nos tópicos de derivação que tá mais detalhado. Vamos continuar

d v = d x

v = x

Vamos omitir as constantes aqui,beleza? Lá no final a gente coloca a constante geral.

Passo 3

Pronto! Com u , d u , v   e   d v determinados, agora vamos aplicar na regrinha da integração por partes que é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ u   d v = arcsen ⁡ x .   x - ∫ x 1 - x 2 d x

Passo 4

Para resolver

∫ x 1 - x 2 d x

Vamos utilizar o método da substituição

u = 1 - x 2

d u = - 2 x   d x

- 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2   2 u = - u

Substituindo novamente

∫ x 1 - x 2 d x = - 1 - x 2

Passo 5

Substituindo na nossa expressão

∫ arcsen ⁡ x d x = arcsen ⁡ x .   x - ∫ x 1 - x 2 d x

∫ arcsen ⁡ x d x = arcsen ⁡ x .   x + 1 - x 2   + C

Prontinho! Não esquece da constante viu?

Resposta

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