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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Passo 1

Beleza, integração por partes. Do que a gente precisa? Determinar quem vai ser u   e   d v , certo? Vamos lembrar do nosso macete para escolher o u , o LIATE (logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial).

Nossa prioridade então é a logarítmica, então

u = ln ⁡ x

d v = x 2   d x

Passo 2

Escolhidos u   e   v , precisamos encontrar d u   e   v

u = ln ⁡ x

Derivando

d u = 1 x d x

E

d v = x 2   d x

v = x 3 3

Vamos omitir as constantes aqui,beleza? Lá no final a gente coloca a constante geral.

Passo 3

Pronto! Com u , d u , v   e   d v determinados, vamos aplicar na regrinha da integração por partes que é:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ u   d v = ln ⁡ x . x 3 3   - ∫ x 3 3 1 x d x

∫ u   d v = ln ⁡ x . x 3 3   - 1 3 ∫ x 2 d x

Passo 4

Agora só falta resolver

∫ x 2 d x = x 3 3

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x . x 3 3   - 1 3 x 3 3

∫ x 2 ln ⁡ x d x = ln ⁡ x . x 3 3   - x 3 9 + C

Não esquece de colocar a constante!

Resposta

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