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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule as integrais:

b   ∫ arctg ⁡ 3 x d x

Passo 1

Esse cara pede a integral por partes!

Pelo LIATE escolhemos o nosso u sendo a Inversa trigonométrica e a algébrica, polinomial, será nosso d v :

u = arctg ⁡ 3 x → d u = 3 d x 1 + x 2

d v = d x → v = x

Agora é só usar a fórmula da integral por partes:

∫ arctg ⁡ 3 x d x = x arctg ⁡ x - ∫ 3 x   d x 1 + x 2

Passo 2

A integral que sobrou pode ser resolvida por substituição:

y = 1 + x 2

d y = 2 x   d x → 3 x   d x = 3 d y 2

Fica assim,

∫ 3 x   d x 1 + x 2 = ∫ 3 d y 2 y = 3 ln ⁡ y 2

= 3 ln ⁡ 1 + x 2 2

Passo 3

Então a integral toda fica assim:

∫ arctg ⁡ 3 x d x = x arctg ⁡ 3 x - 3 ln ⁡ 1 + x 2 2 + C

Resposta

∫ arctg ⁡ 3 x d x = x arctg ⁡ 3 x - 3 ln ⁡ 1 + x 2 2 + C

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