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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Integração por Partes

Calcule:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ln ⁡ s e n x d x

Passo 1

Uma questão muito estranha à princípio, mas sabemos que podemos aplicar a fórmula de integração por partes pois conhecemos a integral de sec 2 ⁡ ( x ) cos ⁡ .

∫ u d v = u v - ∫ v d u

d v = sec 2 ⁡ ( x ) d x → v = t g ( x )

u = ln ⁡ s e n x → d u = c o s ⁡ ( x ) s e n x d x

Plugando de volta:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ln ⁡ s e n x d x = t g x ln ⁡ s e n ( x ) - ∫ t g x c o s ⁡ ( x ) s e n x d x

Passo 2

Como sabemos que:

t g x = s e n ( x ) cos ⁡ x

∫ t g x c o s ⁡ ( x ) s e n x d x = ∫ s e n ( x ) cos ⁡ x c o s ⁡ ( x ) s e n x d x

∫ t g x c o s ⁡ ( x ) s e n x d x = ∫ d x = x + C

Voltando, temos:

∫ sec 2 ⁡ ( x ) ln ⁡ s e n x d x = t g x ln ⁡ s e n ( x ) - x + C

Resposta

t g x ln ⁡ s e n ( x ) - x + C

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