Nos exercício a , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.
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Passo 1
Bem, antes de fazermos qualquer coisa nessa integral para resolvê-la em si, vamos tentar simplifica-la, e cara seria muito legal se desaparecêssemos com aquela soma ali em baixo, não seria?
E você pode fazer isso! ☺
Lembra que ? Então! Se a gente multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado ...
Olha só o que apareceu ali! Simplificou muuuuito a nossa vida, viu?
Agora é só resolver essa integral aí, saca? ☺
Passo 2
Podemos simplificar ainda mais essa integral aí se dividirmos em duas integrais...
Se você se recordar, e ...
Vamos resolver cada uma dessas integrais geradas pelo trabalho algébrico, separadas, ok?
Passo 3
Primeiro a primeira integral
O a gente pode derivar de forma fácil e o conhecemos a sua integral, então... Podemos integrar utilizando a integração por partes, onde pela fórmula
Temos que definir o e o , que na verdade já foi definido quando falamos que o é fácil de derivar, então ele é o e o outro é o ...
Para determinar o derivamos e o ... Integramos:
Logo pela fórmula...
A integral de tangente é uma integral que sai fácil se lembrarmos de que...
Passo 4
Ok! Agora a gente pode fazer a segunda integral
Que de forma semelhante, também faremos por partes, onde o continua sendo o , pois é fácil de derivar...
Calculando o lembrando-se da derivada da secante e também o derivando o ...
Logo pela fórmula...
A integral da secante é bem chata de resolver na hora e como ela aparece com uma certa frequência... É recomendado memoriza-la ;)
Passo 5
Voltando à integral que realmente queremos
Lembrando da propriedade de subtração do ...