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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Integração por Substituição

Calcule:

∫ 0 1 2 x ln ⁡ x 2 + 1 d x

Passo 1

Como podemos perceber, o 2 x multiplicando o logaritmo é a derivada do que está dentro do log. Este tipo de percepção vem com a prática de se fazer muitas questões. Fazendo uma substituição simples:

v = x 2 + 1 → d v = 2 x d x

Portanto:

d x = d v 2 x

Vamos então fazer a indefinida. Segue que:

I * = ∫ 2 x ln ⁡ x 2 + 1 d x

I * = ∫ 2 x ln ⁡ v d v 2 x

I * = ∫ ln ⁡ v d v

Passo 2

Agora surge um outro problema. Como fazer a integral do logaritmo? Bom, esta é mais ou menos maceteada mesmo. Você deve lembrar que na do logaritmo fazemos uma integração por partes malandra. Temos a fórmula:

∫ f d g = f g - ∫ g d f

Fazendo:

f = ln ⁡ v → d f = d v v

d g = d v → g = v

Substituímos então:

I * = ∫ ln ⁡ v d v = v ln ⁡ v - ∫ v d v v

I * = v ln ⁡ v - ∫ d v

I * = v ln ⁡ v - v

Passo 3

Voltando para a questão original, substituímos tudo de volta para x e colocamos os limites de integração:

I = x 2 + 1 ln ⁡ x 2 + 1 - x 2 + 1 0 1

I = 2 ln ⁡ 2 - 2 - ln ⁡ 1 - 1

I = ( 2 ln ⁡ 2 - 1 )

Resposta

2 ln ⁡ 2 - 1

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