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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Integração por Partes

Calcule a integral:

∫ x ln ⁡ x 2   d x

Passo 1

Olhando pra esse problema, a primeira coisa que você tem que ouvir é a integral gritando pra gente: “PARTES PARTES PARTES!!!”. E aí nós, que queremos resolvê-la, tacamos integração por partes nela!! Sendo ( ln ⁡ x ) 2 = u e x   d x = d v , vamos escrever a fórmula da integração por partes da seguinte forma:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x ln ⁡ x 2   d x = ln ⁡ x 2 x 2 2 - ∫ x 2 2 2 ln ⁡ x x d x

Passo 2

E resolvendo a integral que ainda sobrou na expressão, vamos ter:

∫ x 2 2 2 ln ⁡ x x d x = ∫ x ( ln ⁡ x )   d x

E PUTZ!! Outra integração por partes!!! Agora sendo ln ⁡ x = u e x   d x = d v . Vai ficar:

∫ x ( ln ⁡ x )   d x = ln ⁡ x x 2 2 - ∫ x 2 2 1 x d x

Passo 3

E a integral que restou no passo 2:

∫ x 2 2 1 x d x = ∫ x 2 d x = x 2 4 + C

Então, vamos ter que a integral do passo 2 é:

∫ x ( ln ⁡ x )   d x = ln ⁡ x x 2 2 - x 2 4 + C

E então a integral do passo 1 que era:

∫ x ln ⁡ x 2   d x = ln ⁡ x 2 x 2 2 - ∫ x ( ln ⁡ x )   d x

Vai ficar:

∫ x ln ⁡ x 2   d x = ln ⁡ x 2 x 2 2 - ln ⁡ x x 2 2 - x 2 4 + C

Resposta

∫ x ln ⁡ x 2   d x = ln ⁡ x 2 x 2 2 - ln ⁡ x x 2 2 + x 2 4 + C

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