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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais:

b   ∫ x sen 2 ⁡ x d x

Passo 1

Duas funções que não tem muito a ver uma com a outra, a dica é partir para integração por partes. Pelo LIATE o nosso u vai ser x e o resto é d v :

u = x → d u = d x

d v = sen 2 ⁡ x d x → v = ∫ sen 2 ⁡ x d x

Para esse v nós temos que dar uma calculada em separado. Para integrar esse cara tem uma ótima relação trigonométrica:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

∫ sen 2 ⁡ x d x = ∫ 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

= x 2 - sen ⁡ 2 x 4

Pronto, esse é nosso v .

Passo 2

Agora basta aplicar a fórmula da integração por partes:

∫ x sen 2 ⁡ x d x = x x 2 - sen ⁡ 2 x 4 - ∫ x 2 - sen ⁡ 2 x 4 d x

= x x 2 - sen ⁡ 2 x 4 - x 2 4 + cos ⁡ 2 x 8

= x 2 4 - x sen ⁡ 2 x 4 - cos ⁡ 2 x 8 + C

Resposta

∫ x sen 2 ⁡ x d x = x 2 4 - x sen ⁡ 2 x 4 - cos ⁡ 2 x 8 + C

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