UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – AVA3 – Questão 3d
Calcule as integrais das funções abaixo:
Passo 1
Olá galera, tudo belezinha? Essa questão fala de integral de uma função! Precisamos resolver essa integral indefinida aqui
e agora, como resolver isso? Por onde começar? Nossa pergunta de milhões...
Temos como integrando uma função logarítmica e normalmente integramos com alguma técnica (substituição e por partes), só que no nosso caso temos uma função trigonométrica no seu argumento, e fora do integrando também! Mas então o que fazer?
A ideia aqui é usar a técnica de integração por partes para que resulte em uma integral mais simples (lembrando que a derivada do logaritmo vai ‘tirar’ aquela tangente pra fora) e assim integrar usando a técnica de integração mais apropriada!
Belezinha até aqui?
Mas fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é a seguinte
Antes de mais nada, vamos analisar o integrando com mais carinho
Temos um produto com logaritmo com função trigonométrica, e aí que está nosso pulo do gato!
Em casos assim usamos a integração por partes!
Bora escolher quem será nosso e !
Para a escolha do temos uma listinha, nosso famoso LIATE
- L: logaritmo
- I: inversa trigonométrica
- A: algébrica (polinômio)
- T: trigonométrica
- E: exponencial
Seguindo essa lista, você vai descobrir quem escolher para ! No nosso caso, , assim
Beleza?
Relembrando a integração por partes
Aí temos o seguinte
Podemos ainda usar a identidade trigonométrica do seno do arco duplo para simplificar ainda mais o integrando
Aí temos
Tranquilo? Viu que ficamos com uma integral bem mais simples! Agora é só integrar! Vamos lá?
Passo 3
Precisamos resolver agora essa integral aqui:
O termo mais à esquerda já está integrado, precisamos resolver só o termo mais à direita! Assim temos
Bem mais tranquilo né?
Terminamos? NÃO!
Nossa integral original é indefinida! Precisamos somar a constante de integração!
Daí nosso resultado fica
Ufa, terminamos galera! Vamos para a próxima?