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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais indefinidas:

a ) ∫ x arcsen ⁡ 5 x 2 d x

Passo 1

Essa integral é uma daquelas do caso bem clássico da integração por partes. Misturas de funções muito diferentes (polinômio com inversa trigonométrica, nesse caso) tende a essa resolução. Pelo ordem do LIATE temos as Inversas trigonométricas vindo antes das Algébricas. Ou seja:

u = arcsen ⁡ ( 5 x 2 )   ; d v = x d x

Aliás, vou dar uma melhorada nisso. Acompanha, se eu chamar de y = 5 x 2 posso dizer que o d y será 10 x d x , ou seja, reescreveria assim:

∫ x arcsen ⁡ 5 x 2 d x = 1 10 ∫ arcsen ⁡ y d y

Refazemos as substituições pela mesma ordem do LIATE:

u = arcsen ⁡ ( y )   ; d v = d y

d u = d y 1 - y 2   ; v = y

Assim, vamos para o formato da Integral por Partes:

∫ u   d v = u . v - ∫ v   d u

1 10 ∫ arcsen ⁡ y d y = 1 10 arcsen ⁡ y y - ∫ y d y 1 - y 2

Basta resolver essa última integral. Vou usar uma substituição simples ( w = 1 - y 2 , ficando com   d w = - 2 y   d y ) :

∫ y d y 1 - y 2 = ∫ d w - 2 w = - 1 2 ∫ w - 1 2 d w = - 1 2 w 1 2 1 2 = - w

- w = - 1 - y 2

Assim, temos:

1 10 ∫ arcsen ⁡ y d y = 1 10 arcsen ⁡ y y - - 1 - y 2 + C

= 1 10 arcsen ⁡ y y + 1 - y 2 + C

Desfazemos a substituição y = 5 x 2 :

1 10 arcsen ⁡ 5 x 2 5 x 2 + 1 - 5 x 2 2 + C

1 10 5 x 2 arcsen ⁡ 5 x 2 + 1 - 25 x 4 + C

Resposta

∫ x arcsen ⁡ 5 x 2 d x = 1 10 5 x 2 arcsen ⁡ 5 x 2 + 1 - 25 x 4 + C

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