Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Ver Teoria
Exercício 831234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818284858687888990919293949596979899100

Enunciado

Integração por Partes

Calcule:

c   ∫ 0 1 arctg ⁡ x d x

Passo 1

Nesse cara aí temos uma inversa trigonométrica e um polinômio (considerando que está multiplicado por 1 , um polinômio de grau 0 ). Para não haver confusão vamos primeiro resolver a integral por completo e depois aplicar os limites:

∫ arctg ⁡ x d x

Assim, pelo LIATE escolhemos o nosso u sendo a Inversa trigonométrica e a algébrica, polinomial, será nosso d v :

u = arctg ⁡ x → d u = d x 1 + x 2

d v = d x → v = x

Agora é só usar a fórmula da integral por partes:

∫ arctg ⁡ x d x = x arctg ⁡ x - ∫ x   d x 1 + x 2

Passo 2

A integral que sobrou pode ser resolvida por substituição:

t = 1 + x 2

d t = 2 x   d x → x   d x = d t 2

Fica assim,

∫ x   d x 1 + x 2 = ∫ d t 2 t = ln ⁡ t 2

= ln ⁡ 1 + x 2 2

Então a integral toda fica assim:

∫ arctg ⁡ x d x = x arctg ⁡ x - ln ⁡ 1 + x 2 2 + C

Passo 3

Vamos aplicar os limites de integração na fórmula que achamos:

∫ 0 1 arctg ⁡ x d x = x arctg ⁡ x - ln ⁡ 1 + x 2 2 [ 1 0

= 1 arctg ⁡ 1 - ln ⁡ 1 + 1 2 2 - 0 arctg ⁡ 0 - ln ⁡ 1 + 0 2

= π 4 - ln ⁡ 2 2 - 0 - ln ⁡ 1 2 = π 4 - ln ⁡ 2 2 - 0 - 0

= π 4 - ln ⁡ 2 2

Resposta

  ∫ 0 1 arctg ⁡ x d x = π 4 - ln ⁡ 2 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x