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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Questão 2) Calcular as seguintes integrais:

b)

∫ x sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

Essa integral, eu não sei quanto a você, mas estou sentindo cheiro de integração por partes. Uai, pois veja aquele termo x . Ele é fácil de derivar e derivando dá d x . Agora veja a outra expressão, a derivada da tangente é exatamente igual a ela. Sacou?

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

Então vamos buscar quem é o u e o v . O u é sempre quem derivando fica fácil... Ora, então ele só pode ser o x . O d v então será o outro cara...

u = x           e             d v = sec 2 ⁡ x d x

Derivando o u para encontrar o d u e integrando o d v para encontrar o v ...

u = x                     →                           d u = d x

d v = sec 2 ⁡ x d x               →                 v = tan ⁡ x

Agora é só substituir na fórmula de integração por partes...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x   d x   →

A integral da secante aparece muuuuito constantemente, então é bom saber como uma integral direta como a do seno ou cosseno...

∫ x sec 2 ⁡ x d x = x tan ⁡ x - - ln ⁡ cos ⁡ x + C

Podemos escrever a resposta como sendo x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C ou x tan ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + C

Prontinho ;)

Resposta

x tan ⁡ x + ln ⁡ cos ⁡ x + C   o u   x tan ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + C

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