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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule

∫ cos ⁡ 2 x ln ⁡ ( tan ³ ⁡ x ) d x

Passo 1

Para começar vamos simplificar o termo ln ⁡ ( tan ³ ⁡ x ) usando a propriedade

ln ⁡ a n = n ln ⁡ a

Então

ln ⁡ ( tan ³ ⁡ x ) = 3 ln ⁡ ( tan ⁡ x )

∫ cos ⁡ 2 x 3 ln ⁡ ( tan ⁡ x ) d x

Passo 2

Como a integral possui um produto de funções de tipos diferentes vamos usar a integração por partes.

f x = 3 ln ⁡ ( tan ⁡ x ) → f ' x = 3 tan ⁡ x sec ² ⁡ x = 3 sen ⁡ x cos ⁡ x

g ' x = cos ⁡ 2 x → g x = sen ⁡ 2 x 2

Então a integral será

sen ⁡ 2 x 2 3 ln ⁡ ( tan ⁡ x ) - ∫ sen ⁡ 2 x 2 3 sen ⁡ x cos ⁡ x d x =

3 2 sen ⁡ 2 x ln ⁡ ( tan ⁡ x ) - ∫ sen ⁡ 2 x 2 3 sen ⁡ x cos ⁡ x d x =

Sabemos que

sen ⁡ 2 x = 2 sen ⁡ x cos ⁡ x

Portanto

3 2 sen ⁡ 2 x ln ⁡ ( tan ⁡ x ) - ∫ sen ⁡ 2 x 2 3 sen ⁡ x cos ⁡ x d x = 3 2 sen ⁡ 2 x ln ⁡ ( tan ⁡ x ) - ∫ 3 d x

3 2 sen ⁡ 2 x ln ⁡ ( tan ⁡ x ) - ∫ 3 d x = 3 2 sen ⁡ 2 x ln ⁡ tan ⁡ x - 3 x + C

Resposta

3 2 sen ⁡ 2 x ln ⁡ tan ⁡ x - 3 x + C

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