3.4. Calcule as integrais:

(a) ∫ x l n x d x

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, temos que obter a integral de f x = x l n x

E aí, parece tranquilo, né? 😎

Como nossa função de integração é o produto de duas funções, podemos aplicar o método de integração por partes...

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f x = x l n x

Ou seja, o termo l n x aparece primeiro na palavra L I A T E , então esse termo será u e x d x será nosso d v

u = l n x d v = x d x

Derivando u e integrando d v , temos

u = l n x d v = x d x → d u = 1 x d x v = x 2 2

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Montando nossa integral, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ x l n x d x = l n x · x 2 2 - ∫ x 2 2 1 x d x

∫ x l n x d x = x 2 2 l n x - 1 2 ∫ x d x

Pelo método de integração polinomial, vamos obter

∫ x d x = x 2 2

Ou seja

∫ x l n x d x = x 2 2 l n x - 1 2 x 2 2 + C

∫ x l n x d x = x 2 2 l n x - x 2 4 + C

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ x l n x d x = x 2 2 l n x - x 2 4 + C

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