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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 3.6d

3.6. Calcule as integrais abaixo:

(d) ∫ π / 2 π θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nessa questão temos que obter a integral de f θ = θ 3 cos ⁡ θ 2 entre θ = π e θ = π / 2 .

Parece de boa? 😁

Como nossa função de integração é o produto de duas funções, podemos aplicar o método de integração por partes...

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Antes, vamos simplificar nossa integral fazendo uma mudança de variáveis... se chamarmos θ 2 = t , temos que d θ = 1 2 θ d t .

Substituindo na integral adaptando também os limites de integração...

∫ π / 2 π θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ → ∫ π / 2 π θ 3 cos ⁡ t 1 2 θ d t

∫ π / 2 π θ 2 cos ⁡ t 2 d t = ∫ π / 2 π t cos ⁡ t 2 d t

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f t = t cos ⁡ t 2

Ou seja, o termo t aparece primeiro na palavra L I A T E , então esse termo será u e cos ⁡ t d t será nosso d v

u = t 2 d v = cos ⁡ t d t  

Derivando u e integrando d v , temos

u = t d v = cos ⁡ t d t   → d u = 1 2 d t v = - s e n t

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Montando nossa integral, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ t cos ⁡ t 2 d t = t 2 · - s e n t - ∫ - s e n t 1 2 d t

∫ t cos ⁡ t 2 d t = - t s e n t 2 + ∫ s e n t 2 d t

Pelo teorema fundamental do cálculo a integral de s e n t é dada por

∫ s e n t 2 d t = - cos ⁡ t 2

Substituindo na integral...

∫ t cos ⁡ t 2 d t = - t s e n t 2 + - cos ⁡ t 2

∫ t cos ⁡ t 2 d t = - t s e n t 2 - cos ⁡ t 2

Aplicando os limites de integração

∫ π / 2 π t cos ⁡ t 2 d t = - π s e n π 2 - cos ⁡ π 2 - - π 2 s e n π 2 2 - cos ⁡ π 2 2

∫ π / 2 π t cos ⁡ t 2 d t = - - 1 2 - - π 4

∫ π / 2 π t cos ⁡ t 2 d t = π + 2 4

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ π / 2 π t cos ⁡ t 2 d t = π + 2 4

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