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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes

4. Integração por Partes

i) ∫ 1 3 x ln ⁡ x + 1 d x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 1 3 x ln ⁡ x + 1 d x .

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Usando a integração por partes:

u = ln ⁡ x + 1 → d u = 1 x + 1 d x

d v = x d x → v = x 2 2

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x ln ⁡ x + 1 d x = x 2 2 ln ⁡ x + 1 - ∫ x 2 2 1 x + 1 d x

= x 2 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ∫ x 2 x + 1 d x

Passo 3

Pra resolver essa outra integral vamos usar substituição simples:

t = x + 1 → d t = d x

x = t - 1

A integral fica:

∫ x 2 x + 1 d x = ∫ t - 1 2 t d t

= ∫ t 2 - 2 t - 1 t d t

= ∫ t 2 t - 2 t t - 1 t d t

= ∫ t - 2 - 1 t d t

= t 2 2 - 2 t - ln ⁡ t

Voltando pra x :

= x + 1 2 2 - 2 x + 1 - ln ⁡ x + 1

Passo 4

Voltando pra equação do final do passo 2:

∫ x ln ⁡ x + 1 d x = x 2 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 ∫ x 2 x + 1 d x

= x 2 2 ln ⁡ x + 1 - 1 2 x + 1 2 2 - 2 x + 1 - ln ⁡ x + 1

Como x varia de 1 até 3, não terá valores negativos e podemos substituir ln ⁡ x + 1 = ln ⁡ x + 1 :

= x 2 2 ln ⁡ x + 1 - 1 4 x + 1 2 + x + 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1

Maaaas é uma integral definida, precisamos aplicar os limites de integração:

∫ 1 3 x ln ⁡ x + 1 d x = x 2 2 ln ⁡ x + 1 - 1 4 x + 1 2 + x + 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 1 3

= 9 2 ln ⁡ 4 - 1 4 4 2 + 3 + 1 + 1 2 ln ⁡ 4 - 1 2 ln ⁡ 2 + 1 4 2 2 - 1 - 1 - 1 2 ln ⁡ 2

= 4 ln ⁡ 4 - 4 + 4 + 1 2 ln ⁡ 4 - ln ⁡ 2 + 1 - 1 - 1

= 4 ln ⁡ 2 2 + 1 2 ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 2 - 1

= 8 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 - 1

= 8 ln ⁡ 2 - 1

Resposta

8 ln ⁡ 2 - 1

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