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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes

4. Integração por Partes

c) ∫ ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ ln ⁡ x 2 d x .

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Nessa questão temos uma função só, maaas podemos considerar como duas funções onde uma das funções é 1 , né? Então temos:

∫ ln ⁡ x 2 d x = ∫ 1 ln ⁡ x 2 d x

Usando integração por partes:

u = ln ⁡ x 2 → d u = 2 ln ⁡ x x d x

d v = d x → v = x

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - ∫ x 2 ln ⁡ x x d x

= x ln ⁡ x 2 - ∫ 2 ln ⁡ x d x

Lembrando que a integral de ln ⁡ x é x ln ⁡ x - x , então:

= x ln ⁡ x 2 - 2 x ln ⁡ x - x

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= x ln ⁡ x 2 - 2 x ln ⁡ x - x + C

Resposta

x ln ⁡ x 2 - 2 x ln ⁡ x - x + C

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