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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

1) Calcule as integrais abaixo:

a )       ∫ x 2 + 1 cos ⁡ x d x

Passo 1

Cara, em integrais como assim, a primeira coisa que temos a fazer é parar.

“Parar? Como assim?”

Sim! Parar. Parar e olhar a integral por alguns momentos. Isso porque a integral, o jeito que ela está escrita, pode nos indicar como resolvê-la. Veja:

∫ x 2 + 1 cos ⁡ x d x

Temos um cosseno ali em cima que é fácil de integrar, e um termo entre parênteses que é fácil de derivar - mas não é muito de easy para integrar. Logo, podemos pensar em uma integração por partes:

u = x 2 + 1                 d v = cos ⁡ x d x

Repare que o u é sempre a que é fácil de derivar e a d v , a outra.

Passo 2

O que devemos fazer agora é calcular o d u , derivando...

u = x 2 + 1             →               d u = 2 x d x

E o v , integrando...

d v = cos ⁡ x d x                 →                   v = ∫ cos ⁡ x d x

v = sin ⁡ x

Passo 3

Com esses 4 dados muito importantes na integração por partes...

u = x 2 + 1             →               d u = 2 x d x

d v = cos ⁡ x d x                 →                   v = sin ⁡ x

Jogamos na fórmula de integração por partes...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x 2 + 1 cos ⁡ x d x = x 2 + 1 sin ⁡ x - 2 ∫ x sin ⁡ x d x

Perceba que a integral que queríamos, já “morreu” um pouco. Para terminarmos, basta calcular essa outra integral que apareceu. Novamente por integração por partes. Vêm comigo :D!

Passo 4

∫ x sin ⁡ x d x

Derivando o x , o d x vai ser 1 . Muito simples, certo? Por isso o x vai ser o u (quem queremos derivar) e o d v , o outro termo...

u = x                   e                   d v = sin ⁡ x d x

Derivando e integrando novamente:

d u = d x                         e                       v = - cos ⁡ x

Substituindo na fórmula da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x sin ⁡ x d x = - x cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x   d x

∫ x sin ⁡ x d x = - x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x   d x

∫ x sin ⁡ x d x = - x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Passo 5

Voltando para a integral principal que queremos...

∫ x 2 + 1 cos ⁡ x d x = x 2 + 1 sin ⁡ x - 2 ∫ x sin ⁡ x d x

E substituindo a integral que calculamos separado...

∫ x 2 + 1 cos ⁡ x d x = x 2 + 1 sin ⁡ x - 2 - x cos ⁡ x + sin ⁡ x + C

∫ x 2 + 1 cos ⁡ x d x = x 2 + 1 sin ⁡ x + 2 x cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x + C

Prontinho! C é a constante de integração. Não se esqueça dela, heim! :D

Resposta

x 2 + 1 sin ⁡ x + 2 x cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x + C

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