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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

14)

∫ x ln ⁡ 1 + x 2 d x

Passo 1

Bem, nesse tipo de integral é sempre bom pensarmos em como podemos eliminar essa raiz que está nos complicando.

Uma saída é se realizarmos uma substituição mais avançada daquela que estamos acostumados:

Bem se substituíssemos o 1 + x 2 por

1 + x 2 = t 2

Repare que a raiz quadrada desaparece

1 + x 2 = t 2 = t       ( c o n s i d e r a n d o   o   t ≥ 0 )

Sacou?

Passo 2

Beleza, então antes de trocarmos na integral, calculemos o d x para trocarmos também...

1 + x 2 = t 2     →         2 x d x = 2 t d t →            

x d x = t d t

Trocando...

∫ x ln ⁡ 1 + x 2 d x = ∫ ln ⁡ t t d t     ⇒

∫ t ln ⁡ t   d t

Essa integral é bem mais elegante, não é mesmo? Mas ainda não sai de uma forma direta! Como a integral de ln ⁡ t é easy, podemos pensar em uma integração por partes!

Passo 3

Nesse método de integração usemos a fórmula de integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aqui temos duas tarefas iniciais:

1º - A primeira tarefa é certamente determinar quem é o u e o d v . O u sempre é quem vamos derivar, enquanto o d v , o outro...

u = ln ⁡ t

d v = t d t

2º - Encontrado o u e encontrado o d v , derivemos o u para determinar o d u

d u = 1 t d t

E integremos d v para determinar o v

v = t 2 2

Com esses quatro resultados em mãos, substituímos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u   ⇒

∫ ln ⁡ t ⋅ t d t = t 2 2 ln ⁡ t - ∫ t 2 2 ⋅ 1 t d t ⇒

∫ ln ⁡ t ⋅ t d t = t 2 2 ln ⁡ t - 1 2 ∫ t d t ⇒

∫ ln ⁡ t ⋅ t d t = t 2 2 ln ⁡ t - 1 2 ⋅ t 2 2 + C

Passo 4

Voltando com a variável original, já que t 2 = x 2 + 1

∫ x ln ⁡ 1 + x 2 d x = x 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 - x 2 + 1 4 + C

Resposta

x 2 + 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 - x 2 + 1 4 + C

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Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x