UFSC – Cálculo 1 – P3 – Questão 2b
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Letra (b):
Quando aparecer o produto de uma exponencial em e um polinômio de você não deve pensar duas vezes, deve vir em mente a palavra: PARTES!
Sim minha gente! Sempre vamos usar a técnica da integração por partes aqui! Isso porque o tanto sua derivada, quanto sua primitiva são iguais! E aí você vai escolher o polinômio para ser sua função , pois no futuro você vai usar o dela, ou seja, sua derivada.
Lembra que derivada de polinômio baixa o grau dele, e integral aumenta. Então sempre escolhe pra a função que você quer que diminua o grau.
Sendo assim temos que , .
Passo 2
A integração por partes é:
No nosso caso e , então:
Agora é só substituir na fórmula:
E vamos reorganizar um pouquinho o integrando do lado direito:
Mas ué? Ficamos com outra integral com e ! Isso mesmo! Baixamos o grau do polinômio de para , eu não disse que ia resolver 100% o problema, mas que isso ia simplificar nossa vida!
E realmente simplificou, porque agora temos uma integral parecida com a de antes, mas com um polinômio de grau menor, e é isso que a gente quer né? Sempre diminuir esse grau aí!
Uma dica: o grau do polinômio vai indicar quantas vezes você vai aplicar integração por partes. Aqui o tinha grau inicial , então vamos integrar por partes duas vezes.
Passo 3
Tínhamos assim:
Agora nosso vai ser e nosso é de novo :
Beleza? Agora vamos integrar por partes a integral do lado direito que sobrou:
Fazendo a multiplicação do temos:
Passo 4
Pronto! Quase lá! Agora só falta resolver a integral que sobrou do lado direito:
No fim não esquece de colocar o , pois temos uma integral indefinida tá?
Aí a resposta final fica assim: