4a) Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Um truque muito bom na hora de resolver integrais é olhar o tipo de função que estamos trabalhando. Veja bem, em
Temos um logarítimo, e dois polinômios. Como os polinômios são de graus diferentes e o de fora é de grau menor, uma estratégia daora é fazer a substituição simples:
Porque veja bem, se derivarmos , temos:
E olha só! Não é que temos exatamente o mesmo polinômio que multiplica o logarítimo aparecendo nessa derivada? Então fazendo essa substituição, temos:
Opa, ficamos com uma integral bem menor pra fazer! Vamos resolver ela então!
Passo 2
Bora agora resolver:
Talvez a gente nem saque de primeira, mas olha só, se entendermos:
Podemos ver que a nossa integral é, na verdade, um produto de funções diferentes! E isso nos dá uma dica: Integração por Partes! Seja:
Escolhendo então:
Vamos ter:
E logo a integral fica:
Ou seja:
O que, no final das contas, dá:
Passo 3
Bora fechar com chave de ouro então a questão. Juntando tudo que achamos, temos:
O resultado da integral então é:
Voltando agora pra variável original:
Vamos ter: