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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Um corpo se move em uma reta com velocidade v t = t cos ⁡ t . No instante inicial ele estava na posição 0 . Sua localização no instante t = π 2 é igual a:

  1. π 2 + 1
  2. π 2 - 1
  3. π + 1
  4. π - 1

Passo 1

A posição p t nada mais é do que a integral da velocidade no tempo:

p t = ∫ v t d t =

∫ t cos ⁡ t d t

Essa integral, eu não sei quanto a você, mas estou sentindo cheiro de integração por partes. Uai, pois veja aquele termo t . Ele é fácil de derivar e derivando dá d t . Agora veja a outra expressão, conhecemos sua integral muito bem. Sacou?

Pela fórmula de partes...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Passo 2

DEvemos buscar quem é o u e o v . O u é sempre quem derivando fica fácil... Ora, então ele só pode ser o t . O d v então será o outro cara...

u = t           e             d v = cos ⁡ t d t

Derivando o u para encontrar o d u e integrando o d v para encontrar o v ...

u = t                       →                           d u = d t

d v = cos ⁡ t d t                 →                 v = sin ⁡ t

Agora é só substituir na fórmula de integração por partes...

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ t cos ⁡ t d t = t sin ⁡ t - ∫ sin ⁡ t   d u   →

∫ t cos ⁡ t d t = t sin ⁡ t + cos ⁡ t + C

Prontinho ;) A integral indefinida esta calculada.

Passo 3

Porém de você reparar, não tem respostas com essa integral, isso porquê o problema quer que apliquemos as condições iniciais para saber onde está o corpo em um dado momento.

Sabemos que o corpo no instante t = 0 está na posição p 0 = 0 ... Então

p 0 = 0 sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0 + C   →

p 0 = 1 + C   →           1 + C = 0       →     C = - 1

Logo, a posição quando t = π 2 ...

p π 2 = π 2 sin ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 - 1   →

p π 2 = π 2 - 1  

Resposta

b )   π 2 - 1

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