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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Passo 1

Aqui vamos ter que escolher u   e   d v e fazer algumas manipulações para ficar mais fácil, vamos lá!

u = sec ⁡ x

d v = sec 2 ⁡ x

Então

d u = sec ⁡ x tan ⁡ x   d x

E

v = tan ⁡ x

Passo 2

Agora vamos substituir isso na nossa expressão da integral por partes

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ tan ⁡ x sec ⁡ x tan ⁡ x   d x

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x

Passo 3

Agora, precisamos lembrar da identidade trigonométrica

tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Logo

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) sec ⁡ x   d x

∫ s e c 3 x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ sec ⁡ x   d x

Ahhh que droga ein? Chegamos na mesma ∫ sec 3 ⁡ x   d x que estamos querendo nos livrar. Relaxa! Vamos passar isso pro outro lado da igualdade.

2 ∫ sec 3 ⁡ x d x = sec ⁡ x tan ⁡ x + ∫ sec ⁡ x d x  

Ou seja,

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2   sec ⁡ x tan ⁡ x + ∫ sec ⁡ x d x  

Passo 4

Sabemos que ∫ sec ⁡ x d x   = ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x (se ficar com dúvida nisso, tá mais detalhado na parte de integrais trigonométricas).

Então

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2   sec ⁡ x tan ⁡ x + ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Vê se não esquece de colocar essa constante no final viu?

Resposta

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