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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 3.4c

3.4. Calcule as integrais:

(c) ∫ s e n ln ⁡ x d x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que obter a integral de f x = s e n ln ⁡ x

E aí, parece tranquilo, né? 😎

Como nossa função de integração é o produto de duas funções, podemos aplicar o método de integração por partes...

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Antes temos que fazer algumas mudanças na nossa integral

Vamos substituir ln ⁡ x por t , ou seja

t = ln ⁡ x → x = e t → d x = x d t

Substituindo na integral...

∫ s e n ln ⁡ x d x → ∫ s e n t x d t → ∫ e t s e n t d t

Agora a integral que temos que obter, é dada por

∫ e t s e n t d t

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f t = e t s e n t

Ou seja, o termo s e n t aparece primeiro na palavra L I A T E , então esse termo será u e e t d t será nosso d v

u = s e n t d v = e t d t

Derivando u e integrando d v , temos

u = s e n t d v = e t d t → d u = cos ⁡ t d t v = e t

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Montando nossa integral, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ e t s e n t d t = s e n t e t - ∫ e t cos ⁡ t d t

Novamente aplicando o método de integração por partes na integral de e t cos ⁡ t ...

u = cos ⁡ t d v = e t d t → d u = - sen ⁡ t d t v = e t

∫ e t cos ⁡ t d t = cos ⁡ t e t - ∫ e t - sen ⁡ t d t

∫ e t cos ⁡ t d t = cos ⁡ t e t + ∫ e t sen ⁡ t d t

Substituindo na primeira integral

∫ e t s e n t d t = s e n t e t - ∫ e t cos ⁡ t d t

∫ e t s e n t d t = s e n t e t - cos ⁡ t e t + ∫ e t sen ⁡ t d t

∫ e t s e n t d t = s e n t e t - cos ⁡ t e t - ∫ e t sen ⁡ t d t

Passando ∫ e t sen ⁡ t d t para um lado da igualdade...

∫ e t s e n t d t + ∫ e t s e n t d t = s e n t e t - cos ⁡ t e t + C

2 ∫ e t s e n t d t = s e n t e t - cos ⁡ t e t + C

∫ e t s e n t d t = s e n t e t - cos ⁡ t e t 2 + C

E finalmente, voltando t para ln ⁡ x , vamos obter

∫ s e n ln ⁡ x d x = s e n ln ⁡ x e ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x e ln ⁡ x 2 + C

∫ s e n ln ⁡ x d x = s e n ln ⁡ x x - cos ⁡ ln ⁡ x x 2 + C

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ s e n ln ⁡ x d x = s e n ln ⁡ x x - cos ⁡ ln ⁡ x x 2 + C

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