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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Passo 1

Vamos lá resolver nossa integral! Tem cara de integral por partes. Para isso precisamos encontrar u e d v . Vamos lembrar do nosso macete para escolher u , o LIATE(logarítmica, inversa trigonométrica, algébrica, trigonométrica e exponencial). No caso da nossa integral

∫ 0 π 4 e 3 x sen ⁡ ( 4 x ) d x

A função trigonométrica tem prioridade de acordo com nosso macete então

u = sen ⁡ 4 x

d v = e 3 x d x

Passo 2

Escolhidos u e v , precisamos encontrar d u e v .

u = sen ⁡ 4 x

d u = 4 cos ⁡ 4 x

E

d v = e 3 x d x

v = e 3 x 3

Agora, com u , d u , v e d v vamos aplicar a regra da integração por artes.

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando

∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x = sen ⁡ 4 x e 3 x 3 - ∫ e 3 x 3 4 cos ⁡ 4 x d x

∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x = e 3 x 3 sen ⁡ 4 x - 4 3 ∫ e 3 x cos ⁡ 4 x d x

Passo 3

Perceba que chegamos em outro caso de integração por partes. Usando os mesmos critérios vamos escolher

u 2 = cos ⁡ 4 x

v 2 ' = e 3 x

Então

d u 2 = - 4 sen ⁡ 4 x d x

v 2 = e 3 x 3

Aplicando na integração por partes

∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x = e 3 x 3 sen ⁡ 4 x - 4 3 e 3 x 3 cos ⁡ 4 x - ∫ e 3 x 3 ( - 4 sen ⁡ 4 x ) d x

∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x = e 3 x 3 sen ⁡ 4 x - 4 9 e 3 x cos ⁡ 4 x + 4 9 ∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x

Passo 4

Perceba que chegamos na mesma integral do início, vamos reescrever isso passando ela pro outro lado da nossa integral.

∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x - 4 9 ∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x = e 3 x 3 sen ⁡ 4 x - 4 9 e 3 x cos ⁡ 4 x

25 9 ∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x = e 3 x 3 sen ⁡ 4 x - 4 9 e 3 x cos ⁡ 4 x

Então vamos ficar com

∫ e 3 x sen ⁡ 4 x d x = 3 e 3 x 25 sen ⁡ 4 x - 4 25 e 3 x cos ⁡ 4 x

Passo 5

Aplicando os limites de integração, ficamos com

∫ 0 π 4 e 3 x sen ⁡ 4 x d x = 3 25 e 3 π 4 sen ⁡ ( π ) - 4 25 e 3 π 4 cos ⁡ π - 3 25 e 0 sen ⁡ ( 0 ) - 4 25 e 0 cos ⁡ 0

∫ 0 π 4 e 3 x sen ⁡ 4 x d x = 4 25 e 3 π 4 + 4 25

Rearranjando ficamos com

∫ 0 π 4 e 3 x sen ⁡ 4 x d x = 4 25 e 3 π 4 + 1

Prontinho, resolvido !

Resposta

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