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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

4i) Calcule a seguinte primitiva:

∫ e x 2 x + 1 d x

Passo 1

O truque pra resolver rápido uma integral é ver bem o tipo de função que temos dentro dela. Saca só, temos um polinômio de primeiro grau multiplicando uma função exponencial. Quando rola isso, funções de tipos diferentes se multiplicando, uma boa estratégia é integrar por partes. Então, do método:

∫ f d g = f g -   ∫ g d f

Escolhendo:

f = 2 x + 1

e x d x = d g

Vamos ter:

d f d x = 2 → d f = 2   d x

e x = g

E logo, colocando na integral:

∫ e x 2 x + 1 d x = e x 2 x + 1 -   ∫ 2 e x d x

Opa, não é que ajudou? A segunda integral tem resolução direta!

∫ e x 2 x + 1 d x = e x 2 x + 1 -   2 e x

Agora vamos juntar tudo

∫ e x 2 x + 1 d x = 2 x e x + e x - 2 e x = 2 x e x - e x = e x 2 x - 1

E não pode se esquecer da constante de integração heeeeiinnnnn!!

∫ e x 2 x + 1 d x = e x 2 x - 1 + C

Resposta

∫ e x 2 x + 1 d x = e x 2 x - 1 + C

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