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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Resolva a integral:

∫ e 2 x sen ⁡ x   d x

Passo 1

A tentativa do método da integração por partes é super recomendada aqui, pois trata-se de um produto de uma função exponencial ( e 2 x ) por uma função trigonométrica ( sen ⁡ x ).

Vamos seguir os passos da integração por partes.

Passo 2

∫ e 2 x sen ⁡ x   d x

1. Chamar uma parte da integral de u e outra de d v . LIATE!

u = sen ⁡ x     ( t r i g o n o m é t r i c a ,   T ) d v = e 2 x d x         ( e x p o n e n c i a l ,   E )

2. Calcular d u derivando u . E calcular v integrando d v .

d u = cos ⁡ x d x v = 1 2 e 2 x

3. Fazer ∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ e 2 x sen ⁡ x d x = 1 2 e 2 x sen ⁡ x - ∫ 1 2 e 2 x cos ⁡ x d x

4. Verificar como calcular a integral ∫ v d u . Vamos ter que usar o método da integração por partes de novo. Repare que temos um produto, de novo, de uma função exponencial por uma função trigonométrica

Passo 3

5. Calcular!

Seja I = ∫ 1 2 e 2 x cos ⁡ x d x .

Calculando pelo método da integração por partes:

u = cos ⁡ x → d u = - sen ⁡ x   d x d v = 1 2 e 2 x d x → v = 1 4 e 2 x

Então:

I = 1 4 e 2 x cos ⁡ x - ∫ - 1 4 e 2 x sen ⁡ x   d x =

= 1 4 e 2 x cos ⁡ x + 1 4 ∫ e 2 x sen ⁡ x   d x

Passo 4

Ora, olhe onde chegamos! Temos que calcular a integral do enunciado. Repare:

∫ e 2 x sen ⁡ x d x = 1 2 e 2 x sen ⁡ x - 1 4 e 2 x cos ⁡ x - 1 4 ∫ e 2 x sen ⁡ x   d x

Parece que chegamos em uma encruzilhada! Mas, não! Com um olhar mais atento, podemos perceber que podemos tratar   ∫ e 2 x sen ⁡ x   d x como uma variável a ser calculada. Assim, multiplico tudo por 4 :

4 ∫ e 2 x sen ⁡ x d x = 2 e 2 x sen ⁡ x - e 2 x cos ⁡ x - ∫ e 2 x sen ⁡ x d x

5 ∫ e 2 x sen ⁡ x d x = 2 e 2 x sen ⁡ x - e 2 x cos ⁡ x

∫ e 2 x sen ⁡ x d x = 2 5 e 2 x sen ⁡ x - 1 5 e 2 x cos ⁡ x + C

Resposta

∫ e 2 x sen ⁡ x d x = 2 5 e 2 x sen ⁡ x - 1 5 e 2 x cos ⁡ x + C

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