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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule a integral abaixo:

b) ∫ x 2 sin ⁡ x d x

Passo 1

Realizar uma integração por partes

Puts, uma função trigonométrica com outra não trigonométrica? Complicou. Mas cara, te contar que isso ai cheira a resolução por partes viu? Até porque a função não trigonométrica é um polinômio pequeno. Vamos então fazer:

u = x 2 → d u = 2 x d x

d v = sin ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x

∫ x 2 sin ⁡ x d x = ∫ u d v = u v - ∫ v   d u

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x + 2 ∫ x cos ⁡ x   d x

Passo 2

Realizar ooooutra integração por partes

Caraca, de novo? Pois é, no passo anterior acabamos gerando uma outra integral no mesmo estilo da original:

∫ x cos ⁡ x   d x

Mas dá uma olhada: a ordem do polinômio diminuiu! Então se fizermos mais uma vez ele some e vamos poder integrar uma função trigonométrica sozinha! Vamos lá então:

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ x d x → v = sin ⁡ x

∫ x cos ⁡ x   d x = ∫ u d v = u v - ∫ v   d u

∫ x cos ⁡ x   d x = x sin ⁡ x - ∫ sin ⁡ x   d x

E a integral que restou é mole:

∫ sin ⁡ x   d x = - cos ⁡ x

Logo:

∫ x cos ⁡ x   d x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x + C ,

agora incluindo a constante.

Passo 3

Reunir os resultados

A gente achou que:

∫ x 2 sin ⁡ x d x = - x 2 cos ⁡ x + 2 ∫ x cos ⁡ x   d x

∫ x cos ⁡ x   d x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x + C

Beleza, agora só juntar:

∫ x 2 sin ⁡ x d x = 2 x sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x - x 2 cos ⁡ x + C

∫ x 2 sin ⁡ x d x = 2 x sin ⁡ x + 2 - x 2 cos ⁡ x + C

Resposta

∫ x 2 sin ⁡ x d x = 2 x sin ⁡ x + 2 - x 2 cos ⁡ x + C

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