3.3. Calcule ∫ x e x d x usando integração por partes. Mostre o que acontece se você não fizer uma boa escolha inicial de u e d v .

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema, temos que obter a integral ∫ x e x d x e mostrar o que acontece se não fizermos uma boa escolha de u e d v .

E aí, tem alguma ideia do que acontece? 😎

O método de integração por partes é equivalente à regra do produto nas derivadas, para aplicar esse método fazemos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Para determinar u , existe uma regrinha que é chamada de L I A T E onde cada letra representa

Assim, seguindo essa ordem para determinar quem é u na nossa função de integração, não vai ter erro na hora de integrar.

Por exemplo, no nosso caso, temos

f x = x e x

Ou seja, o termo x aparece primeiro na palavra L I A T E , então esse termo será u e e x d x será nosso d v

u = x d v = e x d x

Derivando u e integrando d v , temos

u = x d v = e x d x → d u = d x v = e x

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Montando nosso problema, temos

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ x e x d x = x · e x - ∫ e x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ x e x d x = x e x - e x

Tranquilo? Agora vamos ver como funciona quando invertemos u e d v

u = e x d v = x d x → d u = e x d x v = x 2 2

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ x e x d x = x 2 2 e x - ∫ x 2 2 e x d x

Perceba que a integral ∫ x 2 2 e x d x é bem mais difícil de ser obtida, portanto vemos que se fizermos a escolha errada, a dificuldade da integral vai aumentar.

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ x e x d x = x e x - e x

A dificuldade da integral aumenta se invertemos u e d v

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