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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 1.9c

1.9. Calcule as integrais abaixo usando integração por partes:

(c) ∫ x 5 exp ⁡ x d x .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos obter a integral de f x = x 5 exp ⁡ x = x 5 e x aplicando o método de integração por partes.

Lembra como fazemos isso? 🤔

O método de integração por partes é um método equivalente à regra do produto nas derivadas.

Nesse método seguimos uma formulinha dada por

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Preparado? Bora começar! 😉

Passo 2

No nosso caso, temos

∫ x 5 e x d x

Fazendo u = x 5 e d v = e x d x , vamos obter

d u d x = d x 5 d x → d u = 5 x 4 d x

d v = e x d x → ∫ d v = ∫ e x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo, vamos obter

v = e x

Substituindo na formulinha da integração por partes...

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

∫ x 5 e x d x = x 5 · e x - ∫ e x 5 x 4 d x

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 ∫ x 4 e x d x

Novamente aplicando o método de integração por partes em ∫ x 4 e x d x , temos

u = x 4 → d u = 4 x 3 d x

d v = e x d x ,   v = e x

Aplicando na integral...

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x - ∫ e x 4 x 3 d x

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x - 4 ∫ x 3 e x d x

Já percebeu que o negócio vai ser demorado, não é? 👀

Passo 3

Novamente aplicando o método na integral ∫ x 3 e x d x ...

Agora u = x 3 , d u = 3 x 2 d x e v e d v continuam os mesmos

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x + 20 x 3 e x - ∫ e x 3 x 2 d x

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x + 20 x 3 e x - 60 ∫ x 2 e x d x

Outra vez aplicando o método em ∫ x 2 e x d x ... fazendo u = x 2 e d u = 2 x d x

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x + 20 x 3 e x - 60 x 2 e x - ∫ e x 2 x d x

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x + 20 x 3 e x - 60 x 2 e x + 120 ∫ x e x d x

E pela última vez... com u = x , d u = d x ...

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x + 20 x 3 e x - 60 x 2 e x + 120 x e x - ∫ e x d x

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x + 20 x 3 e x - 60 x 2 e x + 120 x e x - 120 e x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ x 5 e x d x = x 5 e x - 5 x 4 e x + 20 x 3 e x - 60 x 2 e x + 120 x e x - 120 e x

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