4. Integração por Partes

e) ∫ t 2018 ln ⁡ t d t

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ t 2018 ln ⁡ t d t .

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Usando integração por partes:

u = ln ⁡ t → d u = 1 t d t

d v = t 2018 d t → v = t 2019 2019

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ t 2018 ln ⁡ t d t = t 2019 ln ⁡ t 2019 - ∫ t 2019 2019 1 t d t

= t 2019 ln ⁡ t 2019 - ∫ t 201 8 2019 d t

= t 2019 ln ⁡ t 2019 - t 2019 2019 2

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= t 2019 ln ⁡ t 2019 - t 2019 2019 2 + C

Resposta

t 2019 ln ⁡ t 2019 - t 2019 2019 2 + C

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