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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

2) Calcule

  1. ∫ 1 x 2 - x d x
  2. ∫ y y 2 + 1 d y
  3. Considere a EDO “ x 2 - x y y ' = y 2 + 1 ”. Determine a solução geral da EDO e encontre a solução da mesmaque satisfaz a condição inicial y ( 2 )   =   1 .

Passo 1

Um passo de cada vez. Vamos calcular a primeira integral:

∫ 1 x 2 - x d x

Veja bem, o denominador dessa integral tem um fator em comum nos dois termos: o x ! Sendo assim, podemos reescrever essa integral para:

∫ 1 x 2 - x d x = ∫ 1 x x - 1 d x

E pelo método das frações parciais, temos:

∫ 1 x x - 1 d x = ∫ A x d x + ∫ B x - 1 d x

Olhando só pro que tá dentro da integral agora:

1 x x - 1 = A x + B x - 1

Bora colocar tudo no mesmo denominador pra tentar achar A e B , beleza? Vamos lá:

1 x x - 1 = A x - 1 x x - 1 + B x x x - 1

1 x x - 1 = A x - A x x - 1 + B x x x - 1

Tirando o denominador da jogada, temos:

1 = A x - A + B

0 x + 1 = A + B x + B

Montamos então o seguinte sistema de equações:

A + B = 0 B = 1

Concluímos que:

A = - 1 B = 1

E show de bola, fechamos a integral:

∫ 1 x x - 1 d x = ∫ A x d x + ∫ B x - 1 d x

∫ 1 x x - 1 d x = - ∫ 1 x d x + ∫ 1 x - 1 d x

∫ 1 x x - 1 d x = - ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 + C

Passo 2

Agora vamos calcular a integral da letra b :

∫ y y 2 + 1 d y

Opa, temos um termo ao quadrado em baixo e outro em cima. Talvez uma substituição simples resolva o nosso problema então. Bora testar? Seja:

u = y 2 + 1

d u d y = 2 y

d y = d u 2 y

Substituímos:

∫ y y 2 + 1 d y = ∫ y u d u 2 y = 1 2 ∫ 1 u d u

Opa, sobrou uma integral só de u , né? E de resolução direta ainda! Ficamos então com:

1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u

E voltando pra variável original, chegamos à:

∫ y y 2 + 1 d y = 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + C

Passo 3

Bora fazer a letra c e partir pro abraço. Veja bem, nossa EDO é:

x 2 - x y y ' = y 2 + 1

Tem termos dentro dela que lembram as integrais que fizemos, não? Sendo:

y ' = d y d x

Substituindo, temos:

x 2 - x y d y d x = y 2 + 1

Mas e daí? Bem, vamos tentar deixar tudo que é x de um lado e tudo que é de y do outro, ok? Partiu:

x 2 - x y d y d x = y 2 + 1

y y 2 + 1 d y = 1 x 2 - x   d x

E integrando dos dois lados:

∫ y y 2 + 1 d y = ∫ 1 x 2 - x   d x

E olha aí! As integrais das letras anteriores acabaram de reaparecer! Sabemos o resultado delas né, então é só substituir:

1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + C = - ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 + C

A solução da EDO vai ter que ter uma forma y = y x , então vamos reescrever isso de uma forma que possamos achar a resposta. Primeiro, vamos ignorar as duas constantes de integração e deixar uma só:

1 2 ln ⁡ y 2 + 1 = - ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 + C

Afinal constante ± constante dá constante. Agora manipulando a igualdade, temos:

1 2 ln ⁡ y 2 + 1 = ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + C

1 2 ln ⁡ y 2 + 1 = ln ⁡ x - 1 x + C

ln ⁡ y 2 + 1 = 2 ln ⁡ x - 1 x + C

Retirando o logarítimo do lado esquerdo:

y 2 + 1 = e 2 ln ⁡ x - 1 x + C

y 2 + 1 = e 2 ln ⁡ x - 1 x ∙ e C

y 2 + 1 = e ln ⁡ x - 1 x 2 ∙ e C

y 2 + 1 = x - 1 x 2 ∙ e C

Como

y 2 + 1 > 0

x - 1 x 2 = x - 1 x 2 2 = x - 1 x 2

Podemos sumir com os módulos:

y 2 + 1 = x - 1 x 2 ∙ e C

Opa, agora sim temos um y que dá pra trabalhar. Rearranjando:

y 2 = x - 1 x 2 ∙ e C - 1

y x = ± x - 1 x 2 ∙ e C - 1

E taí! Solução da EDO achada! Mas a questão não acabou ainda. Relaxa que falta pouco. Como queremos uma solução específica que satisfaça y ( 2 )   =   1 , basta substituirmos. Maaaas, aaantes, note que y = 1 > 0 . Logo a solução que buscamos é a positiva:

y x = x - 1 x 2 ∙ e C - 1

y 2 = 2 - 1 2 2 ∙ e C - 1 = 1

1 4 ∙ e C - 1 = 1

Elevando os dois lados ao quadrado:

e C 4 - 1 = 1

e C 4 = 2

e C = 8

A solução então será:

y x = 8 x - 1 x 2 - 1

Resposta

  1. ∫ 1 x x - 1 d x = - ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 + C
  2. ∫ y y 2 + 1 d y = 1 2 ln ⁡ y 2 + 1 + C
  3. y x = ± x - 1 x 2 ∙ e C - 1 y x = 8 x - 1 x 2 - 1

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