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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Integração por Partes

Calcule:

a   ∫ x arctg ⁡ x 2 d x

Passo 1

Cara, não tem erro, x 2 ' = 2 x , correto? Então podemos fazer uma substituição que resolve bastante coisa:

t = x 2 → d t = 2 x   d x     ;     x   d x = d t 2

∫ x arctg ⁡ x 2 d x = ∫ arctg ⁡ t d t 2

= 1 2 ∫ arctg ⁡ t d t

Agora tudo se resume em fazer a integral desse arco-tangente. Bom, nesse cara aí temos uma inversa trigonométrica e um polinômio (considerando que está multiplicado por 1 , um polinômio de grau 0 ), a boa é seguir pela integral por partes.

Passo 2

Pelo LIATE escolhemos o nosso u sendo a Inversa trigonométrica e a algébrica, polinomial, será nosso d v :

u = arctg ⁡ t → d u = d t 1 + t 2

d v = d t → v = t

Agora é só usar a fórmula da integral por partes:

∫ arctg ⁡ t d t = t arctg ⁡ t - ∫ t   d t 1 + t 2

Passo 3

A integral que sobrou pode ser resolvida por substituição:

y = 1 + t 2

d y = 2 t   d t → t   d t = d y 2

Fica assim,

∫ t   d t 1 + t 2 = ∫ d y 2 y = ln ⁡ y 2

= ln ⁡ 1 + t 2 2

Passo 4

Então a integral toda fica assim:

1 2 ∫ arctg ⁡ t d t = 1 2 t arctg ⁡ t - ln ⁡ 1 + t 2 2 + C

Como t = x 2 :

∫ x arctg ⁡ x 2 d x = 1 2 x 2 arctg ⁡ x 2 - ln ⁡ 1 + x 4 2 + C

Resposta

∫ x arctg ⁡ x 2 d x = 1 2 x 2 arctg ⁡ x 2 - ln ⁡ 1 + x 4 2 + C

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