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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Para a integral abaixo, determine seu valor ou decida sobre sua convergência.

∫ 1 3 x ln ⁡ x + 1 d x

Passo 1

Temos aqui duas funções x e ln ⁡ x + 1 bem distintas quando as suas derivadas, mas que funcionam bem dentro da regra do LIATE. Assim, pode ser interessante tentar aplicar a integração por partes. Para tal, seguindo o LIATE (Esqueceu o que é? Dá uma olhada rápida lá na teoria que te espero): u = ln ⁡ x + 1 v = x 2 2 d u = d x x + 1 d v = x d x

Pela integração por partes: ∫ u d v = u v - ∫ v d u

Assim, teremos: ∫ 1 3 x ln ⁡ x + 1 d x = x 2 2 ln ⁡ x + 1 1 3 - 1 2 ∫ 1 3 x 2 x + 1 d x

Passo 2

Temos agora que: x 2 2 ln ⁡ x + 1 1 3 = 3 2 2 ln ⁡ 3 + 1 - 1 2 2 ln ⁡ 1 + 1 = 9 2 ln ⁡ 4 - 1 2 ln ⁡ 2 = 1 2 ln ⁡ 2 2 9 2

= ln ⁡ 2 17 / 2

Eita, número feito, mas vamos continuar. Temos agora que: 1 2 ∫ 1 3 x 2 x + 1 d x = ? ?

Estamos com um denominador que complica as coisas. Mas podemos melhorá-lo, considerando: u = x + 1 u 3 = 4 d u = d x u 1 = 2

Como u = x + 1 , então x = u - 1 e x 2 = u - 1 2 . Ficando:

- 1 2 ∫ 1 3 x 2 x + 1 d x = - 1 2 ∫ 2 4 u - 1 2 u d x = - 1 2 ∫ 2 4 u 2 - 2 u + 1 u d u = - 1 2 ∫ 2 4 u - 2 + 1 u d u

Resolvendo essa integral usando a propriedade da soma de integrais, temos:

- 1 2 ∫ 2 4 u - 2 + 1 u d u = - 1 2 u 2 2 - 2 u + ln ⁡ u 2 4

= - 1 2 4 2 2 - 2 ⋅ 4 + ln ⁡ 4 + 1 2 2 2 2 - 2 ⋅ 2 + ln ⁡ 2

= - ln ⁡ 2 + 1 2 - 2 + ln ⁡ 2 = - 1 - ln ⁡ 2 1 / 2

Passo 3

Assim, juntando tudo:

∫ 1 3 x ln ⁡ x + 1 d x = ln ⁡ 2 17 / 2 - 1 - ln ⁡ 2 1 / 2 = - 1 + 4 ln ⁡ 4

Logo, como temos um valor finito, a integral converge!

Resposta

∫ 1 3 x ln ⁡ x + 1 d x = 4 ln ⁡ 4 - 1

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