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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule a integral definida a seguir:

∫ 0 π 2 x sen ⁡ 2 x d x

Passo 1

Observando a função que queremos integrar, note que temos um produto de funções de tipos diferentes ( x . sen ⁡ 2 x ) , sendo um delas fácil de integrar sen ⁡ 2 x e a outra fácil de derivar ( x ) . Podemos usar integração por partes, certo? Então partiu integração por partes?

Passo 2

Lembrando que a nossa função fácil de derivar será a nossa função u e a nossa função fácil de integrar será a nossa função v .

Para a nossa questão, identificamos u = x e d v = sen ⁡ 2 x .

Agora vamos integrar por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 3

Vamos calcular

∫ 0 π 2 x ⏟ u sen ⁡ 2 x d x ⏟ d v = x   .   - 1 2 cos ⁡ 2 x 0 π 2 - ∫ 0 π 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x ⏟ v 1 d x ⏟ d u

∴

∫ 0 π 2 x sen ⁡ 2 x d x = - 1 2 x   .   cos ⁡ 2 x 0 π 2 + 1 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 x d x

∴

∫ 0 π 2 x sen ⁡ 2 x d x = - 1 2 x   .   cos ⁡ 2 x 0 π 2 + 1 2 1 2   sen ⁡ 2 x 0 π 2  

∴

∫ 0 π 2 x sen ⁡ 2 x d x = - 1 2 - π 2 - 0 + 1 4 0 - 0 = π 4

Resposta

∫ 0 π 2 x sen ⁡ 2 x d x = π 4

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