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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

4b) Calcule as seguintes primitivas/integrais definidas:

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 1

Não deixe esse θ te confundir não em! É bem mais comum uma integral em relação a x mas o θ não muda nada! Nesse caso, temos um polinômio de segundo grau θ 2 multiplicando uma trigonométrica. Cheirinho de integração por partes, não é mesmo? Sendo então:

u = θ 2 → d u = 2 θ d θ

cos ⁡ 2 θ d θ = d v → v = ∫ cos ⁡ 2 θ   d θ = sin ⁡ 2 θ 2

Da fórmula da integração por partes, temos:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

O que dá:

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = θ 2 sin ⁡ 2 θ 2 -   ∫ 2 θ sin ⁡ 2 θ 2   d θ

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = θ 2 sin ⁡ 2 θ 2 -   ∫ θ sin ⁡ 2 θ   d θ

É...não foi dessa vez, acabamos parando com outra integral. Mas veja, ela ta no mesmo modelo da original: polinômio vezes trigonométrica. Dá pra resolver fazendo integração por partes de novo!

Passo 2

Integrando por partes de novo, seja:

u = θ → d u = d θ

sin ⁡ 2 θ d θ = d v → v = ∫ sin ⁡ 2 θ   d θ = - cos ⁡ 2 θ 2

Da fórmula da integração por partes, temos:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

O que dá:

∫ θ sin ⁡ 2 θ   d θ = θ   - cos ⁡ 2 θ 2 - ∫ - cos ⁡ 2 θ 2   d θ

∫ θ sin ⁡ 2 θ   d θ = - θ cos ⁡ 2 θ 2 + 1 2 ∫ cos ⁡ 2 θ   d θ

Opa, agora sim paramos numa integral que dá pra resolver direto. Inclusive, já tínhamos feito ela no passo 1 :

∫ cos ⁡ 2 θ   d θ = sin ⁡ 2 θ 2

Sendo assim, a resposta da integral desse passo vai ser:

∫ θ sin ⁡ 2 θ   d θ = - θ cos ⁡ 2 θ 2 + 1 2 sin ⁡ 2 θ 2

∫ θ sin ⁡ 2 θ   d θ = - θ cos ⁡ 2 θ 2 + sin ⁡ 2 θ 4

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro, basta a gente juntar tudo. Nos primeiros passos obtivemos:

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = θ 2 sin ⁡ 2 θ 2 -   ∫ θ sin ⁡ 2 θ   d θ

∫ θ sin ⁡ 2 θ   d θ = - θ cos ⁡ 2 θ 2 + sin ⁡ 2 θ 4

Ou seja, a resposta final vai ser:

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = θ 2 sin ⁡ 2 θ 2 - - θ cos ⁡ 2 θ 2 + sin ⁡ 2 θ 4

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = θ 2 sin ⁡ 2 θ 2 + θ cos ⁡ 2 θ 2 - sin ⁡ 2 θ 4

O que, pra deixar mais bonitinha e agrupada a resposta, dá:

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 2 θ 2 sin ⁡ 2 θ 4 + 2 θ cos ⁡ 2 θ 4 - sin ⁡ 2 θ 4

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 2 θ 2 - 1 sin ⁡ 2 θ + 2 θ cos ⁡ 2 θ   4 + C

OBS: esquece não a constante de integração em!

Resposta

∫ θ 2 cos ⁡ 2 θ d θ = 2 θ 2 - 1 sin ⁡ 2 θ + 2 θ cos ⁡ 2 θ   4 + C

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