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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais:

a )   ∫ ln ⁡ ( x 2 + 4 x + 5 ) d x

Passo 1

Bom, ln ⁡ ( x ) é um negócio meio complicado de integrar de primeira. A saída é reparar que o d x ali é como se fosse um polinômio de grau 0 e notar a total diferença entre as duas funções. Sendo assim, cabe usar a Integral por Partes! Pelo LIATE, Logaritmo é a nossa primeira opção para escolher o u , correto?

u = ln ⁡ ( x 2 + 4 x + 5 )   ; d v = d x

d u = 2 x + 4 x 2 + 4 x + 5 d x     ; v = x

∫ ln ⁡ ( x 2 + 4 x + 5 ) d x = u . v - ∫ v . d u

∫ ln ⁡ ( x 2 + 4 x + 5 ) d x = ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 ( x ) - ∫ ( x ) 2 x + 4 x 2 + 4 x + 5 d x

ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 ( x ) - 2 ∫ ( x 2 + 2 x ) x 2 + 4 x + 5 d x

A partir de agora só precisamos resolver essa integral e pronto.

Passo 2

Repara que temos fração com grau dois em cima e grau dois embaixo. Vamos dividir esse polinômio aí e então tentar integrá-lo.

( x 2 + 2 x ) x 2 + 4 x + 5 = x 2 + 4 x + 5 + ( - 2 x - 5 ) x 2 + 4 x + 5 = 1 + ( - 2 x - 5 ) x 2 + 4 x + 5

Ok, já melhorou. Mas e para integrar esse negócio?

∫ ( - 2 x - 5 ) x 2 + 4 x + 5

Aí vem o pulo do gato, repara na substituição que eu vou fazer:

∫ ( - 2 x - 5 ) x 2 + 4 x + 5 = ∫ ( - 2 x - 5 ) ( x 2 + 4 x + 4 ) + 1 = ∫ ( - 2 x - 5 ) x + 2 2 + 1

y = x + 2   ; d y = d x

∫ ( - 2 x - 5 ) x + 2 2 + 1 = ∫ ( - 2 ( y - 2 ) - 5 ) y 2 + 1 = ∫ ( - 2 y - 1 ) y 2 + 1

- ∫ 2 y y 2 + 1 - ∫ 1 y 2 + 1

= - ln ⁡ y 2 + 1 - arctg ⁡ y = - ln ⁡ ( x 2 + 4 x + 5 ) - arctg ⁡ x + 2

Foi?

Passo 3

Bom, vamos voltar para o pedaço de antes:

∫ ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 d x = ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 x - 2 ∫ x 2 + 2 x x 2 + 4 x + 5 d x

∫ ln ⁡ ( x 2 + 4 x + 5 ) d x = ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 ( x ) - 2 ∫ 1 + - 2 x - 5 x 2 + 4 x + 5 d x

= ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 ( x ) - 2 x - ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 - arctg ⁡ x + 2

ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 x + 2 - 2 x + 2 arctg ⁡ x + 2 + C

Resposta

∫ ln ⁡ ( x 2 + 4 x + 5 ) d x = ln ⁡ x 2 + 4 x + 5 x + 2 - 2 x + 2 arctg ⁡ x + 2 + C

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