Integração por Partes
Calcule as seguintes integrais
Passo 1
Não tem mistério! O enunciado nos pede para calcularmos uma integral indefinida. Ou seja, o resultado deve ser uma família de funções (Não esquecer da constante , marujo)!
A princípio, a integral não é óbvia e não pode ser calculada sem usarmos um método de integração.
A tentativa do método da integração por partes é recomendada aqui, pois trata-se de um produto de uma função polinomial () por uma função exponencial () e por uma função trigonométrica .
Porém, antes, notamos que aparece mais de uma vez no integrando, e sua derivada aparece parecido. Assim, para simplificarmos o integrando, é conveniente usar o método da substituição para depois usar a integração por partes.
Passo 2
Vamos usar a seguinte substituição para simplificar o integrando:
Substituindo:
Passo 3
Agora, sim, vamos usar o passo a passo da integração por partes:
1. Chamar uma parte da integral de e outra de . Devemos escolher na seguinte ordem: função logarítmica () > função inversa () > função polinomial () > função trigonométrica (, , , ...) > função exponencial ().
2. Calcular derivando . E calcular integrando .
3. Fazer
4. Verificar se a integral é possível de calcular. Se não, volte para o passo 1 e tente outro e .
É possível. Porém, iremos ter que usar a integral por partes de novo.
Passo 4
5. Calcular!
Vamos chamar .
Vamos calcular pelo método da integração por partes. Do seguinte modo:
Passo 5
Então, substituindo :
Ora, apareceu a mesma integral que queríamos calcular no início do problema. Quando isso acontece, temos que utilizar a técnica de imaginá-la como uma variável. Assim (passando para o outro lado):
Você deve estar estranhando porque não tiramos aquele meio da integral, mas olha a integral que queremos, lá em cima no final do passo ela leva o junto, então não vamos tirá-lo da integral, se você tirar da integral vai precisar recolocar depois para achar a integral inicial de qualquer forma.
Continuando com a questão
Agora vamos substituir por :