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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

Calcule:

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x

Passo 1

Temos exatamente essa integral nos exercícios de fixação!

Mas naquela o enunciado pedia pra resolver diretamente por integração por partes. Aqui podemos ver outra forma de resolver a mesma integral, usando a seguinte substituição simples:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

→ d x = x   d u

Temos que eliminar totalmente os “ x ”, e

u = ln ⁡ x ⇔ x = e u

Ou seja:

d x = e u d u

Daí a integral fica:

∫ sen ⁡ u e u d u

Passo 2

Pronto, agora caímos num caso de integração por partes! Usando o LIATE, fazemos o seguinte (como já estamos integrando em u , vou trocar o u da integração por partes por um w , beleza?):

w = sen ⁡ u ⇒ d w = cos ⁡ u d u d v = e u d u ⇒ v = e u

Aplicando a fórmula:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

∫ sen ⁡ u e u d u = e u sen ⁡ u - ∫ e u cos ⁡ u   d u

Passo 3

Integramos por partes de novo essa nova integral que apareceu:

w = cos ⁡ u ⇒ d w = - sen ⁡ u d u d v = e u d u ⇒ v = e u

Assim:

∫ w d v = w v - ∫ v d w

∫ e u cos ⁡ u   d u = e u cos ⁡ u - ∫ e u - sen ⁡ u d u

∫ e u cos ⁡ u   d u = e u cos ⁡ u + ∫ e u sen ⁡ u d u

Passo 4

No passo 2 e 3 achamos:

∫ sen ⁡ u e u d u = e u sen ⁡ u - ∫ e u cos ⁡ u   d u

∫ e u cos ⁡ u   d u = e u cos ⁡ u + ∫ e u sen ⁡ u d u

Juntando tudo isso:

∫ sen ⁡ u e u d u = e u sen ⁡ u - e u cos ⁡ u + ∫ e u sen ⁡ u d u

∫ sen ⁡ u e u d u = e u sen ⁡ u - e u cos ⁡ u - ∫ e u sen ⁡ u d u

Agora é só isolar a integral que queremos:

2 ∫ e u sen ⁡ u d u = e u sen ⁡ u - e u cos ⁡ u

⇒ ∫ e u sen ⁡ u d u = e u 2 sen ⁡ u - cos ⁡ u

Passo 5

Voltando pra variável x , e acrescentando a constante de integração:

e u 2 sen ⁡ u - cos ⁡ u = x 2 sen ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

Pronto, aí está!

Resposta

∫ sen ⁡ ln ⁡ x d x = x 2 sen ⁡ ln ⁡ x - cos ⁡ ln ⁡ x + C

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