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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes

4. Integração por Partes

d) ∫ x 2 cos ⁡ 2 x d x

Passo 1

Falaaa.. tudo bem??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ x 2 cos ⁡ 2 x d x .

Como não conseguir calcular ela diretamente, vamos usar um método de integração.

Repara que temos o produto de duas funções bem diferentes, né? Isso indica que vamos usar integração por partes.

Vamos chamar uma das funções de u e a outra de d v e usar a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

E pra escolher qual é qual?? Pra u escolher a função que seja fácil de derivar e pra d v escolhemos a função que seja fácil de integrar.

Passo 2

Usando integração por partes:

u = x 2 → d u = 2 x d x

d v = cos ⁡ 2 x d x → v = sen ⁡ 2 x 2

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x 2 cos ⁡ 2 x d x = x 2 sen ⁡ 2 x 2 - ∫ sen ⁡ 2 x 2 2 x   d x

= x 2 sen ⁡ 2 x 2 - ∫ x sen ⁡ 2 x d x

Passo 3

Usando, novamente, integração por partes pra resolver essa outra integral:

u = x → d u = d x

d v = sen ⁡ 2 x d x → v = - cos ⁡ 2 x 2

Usando a fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

∫ x sen ⁡ 2 x d x = - x cos ⁡ 2 x 2 - ∫ - cos ⁡ 2 x 2 d x

= - x cos ⁡ 2 x 2 + ∫ cos ⁡ 2 x 2 d x

= - x cos ⁡ 2 x 2 + sen ⁡ 2 x 4

Passo 4

Voltando pra equação do final do passo 2:

∫ x 2 cos ⁡ 2 x d x = x 2 sen ⁡ 2 x 2 - ∫ x sen ⁡ 2 x d x

= x 2 sen ⁡ 2 x 2 - - x cos ⁡ 2 x 2 + sen ⁡ 2 x 4

= x 2 sen ⁡ 2 x 2 + x cos ⁡ 2 x 2 - sen ⁡ 2 x 4

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= x 2 sen ⁡ 2 x 2 + x cos ⁡ 2 x 2 - sen ⁡ 2 x 4 + C

Resposta

x 2 sen ⁡ 2 x 2 + x cos ⁡ 2 x 2 - sen ⁡ 2 x 4 + C

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