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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2020, VF, Q5B

Calcule:

  1. ∫ 0 1 4 arcsin ⁡ 2 x d x

  2. ∫ sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Fala, galerOTA! A velha recorrência da secante. Vamos abrir no método da integração por partes:

∫ sec 3 ⁡ x d x

⇒ u = sec ⁡ x d v = sec 2 ⁡ x d x ⇒ d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x v = tan ⁡ x

Logo,

∫ sec 3 ⁡ x d x = ∫ u d v = u v - ∫ v d u

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x tan 2 ⁡ x d x  

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec ⁡ x ( sec 2 ⁡ x - 1 ) d x  

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ sec 3 ⁡ x d x + ∫ sec ⁡ x d x

Passando a integral repetida ao outro lado e dividindo por 2, temos:

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ∫ sec 2 ⁡ x + sec ⁡ x tan ⁡ x sec ⁡ x + tan ⁡ x d x

= 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ∫ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) ' sec ⁡ x + tan ⁡ x d x

= 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C ,         C ∈ R

Resposta

∫ sec 3 ⁡ x d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C ,         C ∈ R

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