Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

Ver Teoria
Exercício 111234567891012131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Integração por Partes

Calcule as seguintes integrais:

b   ∫ x arctg ⁡ x 2 - 1 d x

Passo 1

Cara, estamos trabalhando com dois termos que nada tem em comum um com o outro, um arco tangente e um polinômio. O melhor jeito de resolver integrais com esse cara é com a integração por partes. Seguimos a regra do LIATE, como tem lá na teoria. O I de inversa trigonométrica vem antes do A de algébrica (polinômios), então nosso u será:

u = arctg ⁡ x 2 - 1 → d u = x 2 - 1 ' 1 + x 2 - 1 2

d u = x 2 - 1 ' 2 x 2 - 1 1 + x 2 - 1 =   2 x d x 2 x 2 - 1 x 2 = d x x x 2 - 1

O resto será d v :

d v = x d x → v = x 2 2

Assim, pela fórmula da Integral por Partes, nós teríamos:

∫ u . d v = u . v - ∫ v . d u

∫ x arctg ⁡ x 2 - 1 d x = arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - ∫ x 2 2 d x x x 2 - 1

Passo 2

Vamos desenvolvendo o termo:

∫ x arctg ⁡ x 2 - 1 d x = arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - ∫ x d x 2 x 2 - 1

Na integral que sobrou ali eu posso chamar t = x 2 - 1 com d t = 2 x d x :

arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - ∫ d t 2 2 t

= arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - ∫ t - 1 2 d t 4

= arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - 1 4 t 1 2 1 2

= arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - x 2 - 1 2 + C

Resposta

∫ x arctg ⁡ x 2 - 1 d x = arctg ⁡ x 2 - 1 x 2 2 - x 2 - 1 2 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x