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Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

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Enunciado

IME, Cálculo 3, 2021, VE2, Q1A

Avalie as seguintes integrais:

  1. ∫ 2 ∞ ln ⁡ 1 - 1 x 2 d x
  2. ∫ 0 ∞ 1 x e x d x

Passo 1

Falem meus consagrados! Se liga no truque:

∫ 2 ∞ ln ⁡ 1 - 1 x 2 d x = ∫ 2 ∞ ln ⁡ ( x + 1 ) ( x - 1 ) x 2 d x = ∫ 2 ∞ ln ⁡ x + 1 + ln ⁡ x - 1 - 2 ln ⁡ x   d x =

Todavia, a integração por partes nos garante que:

∫ l n   x + a d x = ( x + a ) ln ⁡ x + a - ∫ d x = ( x + a ) ln ⁡ x + a - x

Assim,

∫ 2 ∞ ln ⁡ 1 - 1 x 2 d x = x + 1 ln ⁡ x + 1 - x + x - 1 ln ⁡ x - 1 - x - 2 x ln ⁡ x - x 2 ∞

= x ln ⁡ x + 1 x - 1 x 2 + ln ⁡ x + 1 x 2 ( x - 1 ) 2 ∞

Passo 2

Como:

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ x 2 - 1 x 2 = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 - 1 x 2 1 x = lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 - 1 2 / x 3   - 1 / x 2 = lim x → ∞ ⁡ - 2 x   x 2 - 1   = 0

E

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 x 2 x - 1 = - ∞

A primitiva diverge no limite superior, enquanto no inferior, vale 3 ln ⁡ 0.75 .

Resposta

Diverge.

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