Passo 1
Queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sendo que um dos pontos é o ponto e o outro ponto é um ponto que tem que estar no plano dado.
Assim, queremos minimizar a função distância entre dois pontos, sujeita a restrição do plano.
E qual é a função distância?
É essa aqui:
Mas, minimizar a função distância e minimizar a função distância ao quadrado dá no mesmo. Só que com a diferença de que a função distância ao quadrado não tem essa raiz quadrada aí, o que facilita nossa vida na hora de calcular as derivadas parciais.
Então vamos usar essa função aqui:
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais da função :
Assim:
Passo 3
Agora, jogando tudo para o lado esquerdo na equação da restrição e chamando de :
E calculando seu gradiente:
Passo 4
Utilizando o multiplicador de Lagrange:
Igualando as coordenadas e adicionando a equação da restrição, ficamos com o sistema:
Passo 5
Vamos substituir a terceira equação na primeira e na segunda para encontrar e em função de .
Na primeira:
E na segunda:
Agora substituindo na última equação:
Assim,
E
Assim, nosso ponto é
Passo 6
Agora, para descobrir a menor distância, é só substituir esse ponto na função distancia:
Resposta
