Um fio de coprimento deve ser dividido em partes. Determine o comprimento de cada parte de modo que o produto dos comprimentos das partes seja máximo.
Passo 1
Sejam o comprimento de cada pedaço. A função que queremos maximizar, será:
Sujeita a restrição:
Passo 2
Utilizando os multiplicadores de Lagrange, vamos ter:
Calculando os gradientes:
O sistema de equações vai ficar:
Passo 3
Da primeira equação e da segunda equação:
Como nenhum comprimento pode ser zero, temos que:
Utilizando a segunda equação e a terceira equação:
Então temos:
Utilizando a ultima equação:
Resposta
a)