Cálculo – Stewart – Volume 2 – Capítulo 14 – Seção 8 – Exercício 39
(Capítulo 14.8 – Exercício 39) Resolva pelo método dos multiplicadores de Lagrange o exercício da seção .
Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas arestas seja uma constante .
Passo 1
Faaala galerinha!
Queremos achar as dimensões , e que maximizam o volume de uma caixa mas de modo que a soma dos comprimentos de suas arestas seja uma constante .
Assim, queremos maximizar a função
com a restrição
Cada aresta aparece quatro vezes na caixa, assim a soma das arestas será .
Desta forma, queremos maximizar sujeita à restrição
Pelo método dos multiplicadores de Lagrange:
Então boraaa
Passo 2
Calculando os gradientes:
Assim,
Portanto,
Assim, tiramos que
Como as dimensões da caixa não pode ser zero, podemos simplificar na equação, obtendo
Analogamete, igualando a segunda equação do sistema com a terceira:
Obtivemos então
Substituindo isso na restrição:
Como esse é o único candidato obtido e pela natureza do problema existe um máximo, ele é o máximo! Assim, o volume é dado por
E fimmmm